Aplicaciones del número e.

Aplicaciones del número e

   Veremos ahora varios ejemplos de aplicaciones del número e en diversas ciencias, he escogido algunas que nos pueden parecer más próximas a nuestra vida cotidiana y que, quizás, os sorprenderán:
· Intervención del número  e  en un asesinato:
    Una aplicación del número “e” es poder determinar en un asesinato el momento de la muerte.
    Es necesario aplicar la ley de Newton sobre el enfriamiento que establece que la velocidad a la que se enfría un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del entorno.
    Esto quiere decir que cuando un objeto está mucho más caliente que el aire exterior, su velocidad de enfriamiento es alta, de manera que se enfría muy rápidamente; cuando un cuerpo está un poco más caliente que su entorno, su velocidad de enfriamiento es baja y se enfría lentamente.
    Una persona viva no se enfría continuamente. El metabolismo humano asegura el mantenimiento de la temperatura del cuerpo alrededor de los 36ºC (98,6º F). Pero una persona muerta deja de producir calor y, por tanto, comienza a enfriarse siguiendo la ley de Newton que se aplica con la fórmula matemática siguiente:

T = T_aire + (T_cos – T _aire) / e^k·t

    Dónde T es la temperatura, t es el tiempo en horas después de medianoche y k es una constante.
    Ahora aplicaremos esta fórmula en el asesinato de una persona. Su temperatura en un momento dado después de su muerte era de 85º F y la temperatura del aire era de 68º F. A las dos de la madrugada la temperatura del cuerpo había disminuido hasta los 74º F. A partir de esto nos interesa determinar cuando murió esta persona. Sabemos que la temperatura normal del cuerpo es de 98,6ºF, se puede calcular el momento de su muerte operando así:

        98,6º = 68º + (85º - 68º) / e^0,5207·t

    Operando los términos resulta: (30,6º) ·  e^0,5207·t = 17º

        e^0,5207·t = 17º / 30,6º = 0,5556

    Por tanto, si aplicamos el cálculo de logaritmos resulta:

        0,5207 · t = L(e^0,5207·t) = L(0,5556) = -0,5878
        t = -0,5878 / 0,5207 = -1,13 horas = -68 minutos

    Con esto sabemos, gracias a la ayuda del número e, que esta persona murió 68 minutos antes de las doce de la noche, es decir, a las 22:52 h.

· En matemática financiera se utiliza para calcular el interés continuo:
    La fórmula del interés continuo es:    C = c · (1 + r / m)^m·t 
    dónde C = capital final, c = capital inicial, r = interés anual, m = periodos de capitalización,
    t = número de periodos.

    Veremos la aplicación del número e en matemática financiera a partir de un ejemplo concreto.
    Veamos lo que producen 1000 euros a un interés compuesto del 20% anual en un año, y a interés continuo.
    a) Primer caso: Cuando el periodo de capitalización es 1 año:

        C = c · (1 +  r / 1 )¹ = 1000 · (1 + 20/100)¹ = 1000 · 1,2 = 1200 euros

    b) Segundo caso: Cuando el periodo de capitalización es 1 mes, es decir, hay 12 periodos de capitalización al año, entonces la fórmula es:

        C = c · (1 +  r / 12 )¹² = 1000 · (1 + 0,2 / 12)¹² = 1219,39 euros

    c) Tercer caso: Cuando el periodo de capitalización es 1 dia, es decir, hay 365 periodos de capitalización al año tenemos que:

        C = c · (1 +  r / 365 )³⁶⁵ = 1000 · (1 + 0,2 / 365)³⁶⁵ = 1221,34 euros

    Si nos fijamos vemos que cuantos más periodos de capitalización haya al año, el capital final producido es mayor, pero parece que tiende a estabilizarse al aumentar el número de periodos porque, por ejemplo, la diferencia entre el capital final del segundo y tercer caso es menor que la del primer y segundo caso.
    Cuando el número de periodos de capitalización m tiende a infinito, el interés se denomina continuo.
    La fórmula de este tipo de interés es, por tanto:

    Ahora haremos una serie de transformaciones con el fin de poder calcular este límite a partir del número e.
    Si consideramos que r / m = 1 / (m / r) y ahora sustituimos m / r = n, y además tenemos en cuenta que el límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función, obtenemos:

        C = c · lim  (1 + 1 / n)^n·r·t

                   n->w
    Que podemos transformar siguiendo las propiedades de los límites en:

        C = c ·[ lim  (1 + 1 / n)ⁿ]^r·t

                    n->w
    y como hemos visto, a la definición del número e:

    Por lo cual llegamos a la fórmula final del interés continuo:

        C = c · e^r·t

    Entonces, si los 1000 euros los tenemos ahora a interés continuo, el capital final será:

        C = c · e^r·t= 1000 · e^0,2·1 = 1221,40 euros

    El interés continuo es, por tanto, el de máxima producción.
    ¿Habíais imaginado alguna vez que vuestros ahorros estaban bajo el control del número e?

· En ingeniería:
    Cuando se cuelga una cadena o un cable por los extremos, tiende a adoptar una forma que se relaciona con el número e. La fórmula es la siguiente:

    Así que, a partir de ahora, cada vez que veáis un cable, una cuerda, etc. colgado por los extremos, pensad que ¡el número e está allí dándole la curvatura correspondiente!

· El carbono 14:
    Para determinar de una manera aproximada la antigüedad de un objeto que está formado por materia orgánica se mide la cantidad de carbono 14 que contiene. Los seres vivos tienen una cantidad de carbono 14 constante.
    Cuando un ser vivo muere esta cantidad se va desintegrando. La función que regula la desintegración se determina con la siguiente fórmula:

            Q = Q_o · e^-0,000124·t

    Dónde Q es la cantidad de carbono 14 final, Qo es la cantidad de carbono 14 inicial, t es el tiempo.

· Espiral logarítmica:
    En los seres vivos hay curvas relacionadas con el número e. Una de ellas es la espiral logarítmica, la fórmula de la cual es:

            r = e^a·j

· Absorción de los rayos X per la materia. Ley de Bragg-Pierce:

            I = Io · e^-m·x

    Dónde  I es la intensidad final del rayo después de atravesar el cuerpo, Io es la intensidad inicial de los rayos X, m es el coeficiente de absorció, x es el grueso del cuerpo.

· Crecimiento exponencial:
    Una de las numerosas aplicaciones en biología del número e es el crecimiento exponencial. Este tipo de crecimiento surge cuando no hay factores que limiten el crecimiento. Pueden experimentar un crecimiento exponencial las especies pioneras que llegan, por ejemplo, a zonas despobladas como una superfície boscosa en recuperación después de un incendio.
     Para este tipo de crecimiento se aplica la siguiente fórmula:

            N = N_o · e^t

     Esto nos permite adivinar cual será la población N en un tiempo t a partir de la población inicial No.

· Crecimiento logístico:
    Otro tipo de crecimiento es el logístico. Muchas veces las circunstancias, como, por ejemplo, la intervención del gobierno o las condiciones extremes de supervivencia, limitan el crecimiento. Este tipo de crecimiento viene dado por la siguiente fórmula:

            f(x) = k / (1 + a · e^-b·x)

    Dónde k, a y b són constantes que se hallan experimentalmente, dependen de cada aplicación concreta.

    Hay muchas más aplicaciones de fenómenos o situaciones donde interviene el número e, pero me parece que después de leer este artículo -obtenido a partir del trabajo de investigación de la alumna Bharti Pridnani de Lloret- tendréis un concepto muy diferente de este maravilloso número irracional y trascendente, pero poco conocido, que es el número e. Gracias a: http://www.xtec.es/~bfiguera/curioso6.html